数列求和-裂项相消
King_Parliament
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2019-11-23 00:00:35
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个人记录
数列求和-裂项相消
引入
在高中阶段对数列的考察变化多样，其中往往会出现一些不是等差、又不是等比的数列，当我们需要对它求和的时候，往往需要用到一种巧妙的方法――裂项相消。
小学数学告诉我们：\frac{1}{1×2} = 1- \frac{1}{2} ，\frac{1}{2×3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} , \frac{1}{3×4} = \frac{1}{3} -\frac{1}{4}.
那么，如果我们要求\frac{1}{2} + \frac{1}{6}+\frac{1}{12} 只需要将\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}即可。不难发现，除第一项和最后一项留下之外，其余项均被消除，只剩下了1-\frac{1}{4}也就是\frac{3}{4}，经验证，答案正确。
那么，懂了这个，你便了解了裂项相消的基本方法了。
例题一
设数列a_n=n,求a_n=\frac{1}{a_na_{n+1}}前n项和。
解答：
这是前面引入的推广，由引入不难发现，我们只需要将第一项留下，最后一项留下即可。这里要注意的细节是，每一项裂开成两项，一正一负，所以最终剩下的应该是第一项减去最后一项。
过程如下：
S_n=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+...+(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n})+(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})
因为是加号，可以直接去括号，中间全部消去，留下第一项和最后一项也就是1-\frac{1}{n+1}，可以证明，这就是该数列前n项的和。
例题二
已知等差数列{a_n}满足： a_3=7,a_5+a_7=26，a_n的前n项和为S_n.
（1） 求a_4及a_n
（2） 令b_n=\frac{1}{a^2_n-1},(n∈N^*),求数列b_n的前n项和为Tn.
解答：
（1）过程略，答案：a_4=9,a_n=2n+1.
提示：已知是等差数列，只需设出公差d利用a_n=a_m+d(n-m)结合已知列出方程求解即可。
（2）由（1）得，a^2_n-1=4n(n+1),从而b_n=\frac{1}{4n(n+1)}=\frac{1}{4}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}).这里需要注意与例题一不同的是，此处分母多了系数4，导致裂项后每一项都需要乘\frac{1}{4}，无法“相消”，所以我们这里提\frac{1}{4}放在外面作为系数，括号里依旧按照例题一去处理。
所以继续处理，可以得到：
T_n=b_1+b_2+...+b_n=\frac{1}{4}(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+...+(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n})+(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})=\frac{1}{4}(1-\frac{1}{n+1})
也可以证明，这便是数列b_n的前n项和。
总结
由前面两道例题我们不难发现，若数列的通项可以拆成结构相同的两式之差，则可以使用该方法。有时，我们不能一眼看出是否为两式之差，我们可以通过种种等价变化，得到两个等差数列乘积做分母的形式（如：\frac{1}{n*(n+1)}）也可使用该方法。使用此方法关键在于消去了哪些项，保留了哪些项。
综上所述，如果我们能将一个数列化为两等差数列乘积分之几的形式，则可以使用裂项相消的方法去求和。
常见类型
利用分式同分进行裂项
利用根式的分母有理化进行裂项
利用配凑法进行裂项
利用两角差的正切公式进行裂项
利用对数的运算性质进行裂项
利用排列数或组合数的性质进行裂项
技巧
通过大量练习，总结出部分裂项的规律，在此提供给大家方便大家直接使用，如果有能力可以自己推一下。
（1）
\frac 1{n(n+1)}=\frac 1 n-\frac 1 {n+1}
\frac 1{n(n+2)}=\frac 1 2 (\frac 1n-\frac1{n+2})
\frac1{(2n+1)(2n-1)}=\frac12(\frac1{2n-1}-\frac 1 {2n+1})
\frac1{n(n+1)(n+2)}=\frac12(\frac1 {n(n+1)}-\frac1{(n+1)(n+2)})=\frac12 [(\frac1n-\frac1{n-1})-(\frac1{n+1}-\frac1{n+2})]
\frac1{n+k}=\frac1k(\frac1n-\frac1{n+k}),k≠0
(2)
\frac1{\sqrt{n+1}+\sqrt n}=\sqrt{n+1}-\sqrt n
\frac k{\sqrt{n+1}+\sqrt n}=k(\sqrt{n+1}-\sqrt n)
(3)
\frac{2·3^n}{(3^n-1)(3^{n+1}-1)}=\frac1{3^n-1}-\frac1{3^{n+1}-1}
\frac{n·2^{n+1}}{(n+1)(n+2)}=\frac{2^{n+2}}{n+2}-\frac{2^{n+1}}{n+1}
(4)
\frac{4n^2}{4n^2-1}=1+\frac{1}{2}(\frac{1}{2n-1}-\frac1{2n+1})
(-1)^{n-1}\frac{4n}{4n^2-1}=(-1)^{n-1}(\frac1{2n+1}+\frac1{2n-1})
友情提示：初中数学告诉我们， 字母可以代替表达式 ，所以上述式子中的n、k可能是一个具体的数， 也可能是一个表达式 ，请灵活代换。
练习
练习一.
练习二
练习三
参考答案
一.
二.
三.
如有不足，敬请提出。